[轉貼] 為何會有數學危機呢?如何解決的?

claire165

第一次數學危機





歷史背景
畢達哥拉斯（約公元前572年——公元前492年）是一位古希臘的數學家及哲學家，他曾有一句名言「凡物皆數」，意思是萬物的本原是數，數的規律統治萬物。不過要注意的是，在那個年代，他們相信一切數字皆可以表達為整數或整數之比——分數，簡單而言，他們所認識的只是「有理數」。




由於「第一次數學危機」是「無理數」的發現，不過它還說出了「有理數」的不完備性，亦即有理數不可以完全填滿整條數線，在有理數之間還有「罅隙」，無疑這些都是可被證明的事實，是不能否定的。面對著事實，數學家展開廣闊的胸襟，把「無理數」引入數學的大家庭，令數學更豐富更完備，加添了無理數，數線終於被填滿了。 其次我們看看為什麼會產生第二次危機? 愛辨論的惠施曾講過:飛矢不動!同樣的,在古代的希臘是研究哲學的人聚集的地方，在云云的哲學學派之中，其中一派主張「存在是靜止的，不變的，永恒的，變化與運動只是幻覺。」至於這個主張的理念，不是我們的討論範圍，不過，這個學派的學者之一——芝諾，為了論證運動是幻象，提出了「飛矢不動」的「理論」：箭在每一瞬間都要佔據一定的空間位置，即箭在每一瞬間存在，即箭在每一瞬間都是靜止的，又怎可能動呢？當然我們完全明白「飛矢不動」是一個歪論，但數學是一個講究嚴謹的學科，數學家們要從問題的核心「動」作為開始，要證明「飛矢必動」。所謂動是指有速率，而速率便是所走的路程和所用的時間的比，換句話說，要證明箭在每一瞬間都是動即，要證明箭在每一瞬間都有速率，但這是一個難題，因為如何找出每一瞬間的速率呢？要解決每一瞬間的速率（以下稱瞬時速度）的問題，偉大的數學家和物理學家——牛頓（1643–1727），發現了一件無堅不摧的武器——微積分，其中微分便正好可以計算出物體的瞬時速度。這個發現震驚了整個數學界和物理學界，而且除了瞬時速度，微積分更在不同方面有廣泛的應用，並得到了瞬速的發展。不過，好境不常．．．因為微積分必須要考慮所謂「無窮小量」的問題，所謂「無窮小量」是指一個「非零而又極接近零的量」，而所謂「極接近零」是指這個量「與零之間不容許有任何空間和距離」，換句話說，「無窮小量」是一個既不是零又不是非零的量，那麼，「無窮小量」是零嗎？如果解不到這個問題，所謂無堅不摧的微積分，便無立足之地，一切由微積分所得出來的完美的數學和物理學上的結果也付諸流水，所以數學史上稱之為「第二次數學危機」。數學是講究嚴謹的學科，數學家必不逃避問題，面對困難，接受挑戰，是數學家的不朽格言。另一位偉大的數學家柯西（1789–1857），重新建立微積分學的基礎——數學分析。數學分析是透過一套嚴格的「數學語言——ε–語言」來說明甚麼是變量、無窮小和極限等的概念和定義，解決了甚麼是既不是零又不是非零的問題，而這次的危機亦安然渡過，並為數學的大家庭增添了一位成員「數學分析」，也提醒了數學家們要繼續要求嚴格，不可鬆懈。

第三次數學危機