[轉貼] 何謂 ＂離散數學＂

claire165

離散數學漫談


離散數學是一門範圍很廣的學科。粗略地講，離散數學是研究有離散結構的系統的學科。不過，物理世界中除了離散的結構，難道還有其他的結構嗎?其實，萬事萬物均是一個個離散的粒子組成。譬如，我在這裡畫一條直線段為────，這墨水的痕跡並不真的是連續的。它是由有限多個離散的點組成的（地球上所有的分子的個數也是有限的），只是我們肉眼無法分辨罷了。有趣的是，當計算機把這條線段打印出來的時候，真的是把它當作一些點（約幾百個點）打印出來的。

那麼離散數學的研究對象是否包羅一切呢?當然不是。很多結構雖然本身並不是真正連續的，但我們將它看作是連續的結構卻非常方便和確切。數學所描述的永遠只是真實世界的一個近似。選取什麼樣的模型來描述一個實際的系統，一般有兩方面的考量。一是精確性，二是簡法性。只有充分精確，才會有用。只有充分的簡潔，我們才能處理。譬如海水，可以說，它是一個個水分子的運動。但我們把它看作是連續的流體，一則它充分的精確，二則我們沒有能力分析處理那麼多水分子的運動。而有一些結構，則不可以看作是連續的結構，或者看作連續的結構會很不精確。像是工廠企業各部門之間的聯繫，工程施工的工序，DNA序列的結構、交通、通訊網絡結構，課程安排等等，都不是連續的結構。


至於那一些問題應當看作連續的，那一些應看作是離散的，除了問題本身的特性外，往往還依賴於我們對精確性的要求，以及我們處理信息的能力。一般來說，將系統看作是離散的結構會導致需要處理大量的信息。在計算機誕生之前，人們能處理的信息量是很有限的，隨著計算機的迅速發展，人們能處理的信息量越來越大。離散數學，雖然有很多古老的問題，但作為一門較完整的學科，則正是隨著計算機的發展而迅速成長、壯大的。


連續和離散，既是矛盾的，又是統一的，用離散數學作模型的問題，常常用到連續的方法去處理。而連續數學中的問題，則又往往化成離散的問題來求解。特別是在使用計算機時，則不論什麼問題，都是先離散化之後再處理。計算機無論多麼先進，都只能處理有限的離散數據。


雖然離散數學是研究離散結構的一門學科，但基於各種原因，並不是所有研究離散結構的數學都歸於離散數學。譬如自然數是典型的離散結構。但對自然數性質的研究屬於數論的範疇。另外，代數學，機率，統計等都討論很多離散性質的問題。而對於究竟什麼是屬於離散數學之下，人們也沒有完全一致的看法。而且精確的劃分也不必要。數學本來就是一家，各分支之間相互重疊和滲透是自然而且必然的事情。不過，每個數學分支還是有它的核心部分。而作為離散數學的核心部分，學者認為有組合學（計數、排列、組合結構的分析及區組設計）和圖論。


計數是最原始的數學，我們每個人接觸數學都從計數開始。不過，計數並不是簡單的數數而已。即使是數數，有時稍加分析，也能使問題簡單明朗。當你用簡單的推理運算取代繁複的數收時，應當也是很窩心的。